Constante van Planck

Datum: Augustus - September 2010

Inleiding:

Zoals gewoonlijk stond dit experiment stond al langer op mijn lijstje van uit te voeren experimenten. In dit geval was de trigger om het daadwerkelijk te doen de vraag of ik een workshop wilde verzorgen op het NVON TOA Congres op 11 November 2010 in Wageningen. De voorkeur ging uit naar een natuurkundig experiment, waarvan akte.

Principe:

De constante van Planck bepalen m.b.v. de doorlaatspanning van Light Emitting Diodes (LED's).

Materiaal:

  • Batterijen (AA type)
  • Breadboard
  • Weerstanden (220 Ohm, 100 Ohm, 1 kOhm)
  • Condenstoren (10000 uF, 0.1 F, 1 F)
  • Batterijhouder (4*AA en 3*AA)
  • Draadjes
  • LED's van verschillende kleuren
    (IR, rood, oranje, groen, geel, blauw, UV)
  • Multimeter
  • Variabele weerstand (10 kOhm)

 

  • Vernier Go!Link Interface
  • Vernier Voltmeter
  • Laptop/Netbook/Desktop met Logger Pro Lite daarop geÔnstalleerd.
  • Spreadsheet voor data analyse

 

  • Coachlab
  • Connector kabels
  • Schakelaar
  • Laptop/Netbook/Desktop met CoachLab software daarop geÔnstalleerd.
  • Spreadsheet voor data analyse

Experimentele opstelling:

Opstelling met Vernier Go!Link
De experimentele opstelling is schematisch weergegeven in nevenstaande figuur (althans een geavanceerde versie). Een eenvoudiger versie is te zien in onderstaande foto.

Als condensator heb ik gebruikt:
 10000 uF, 0.1 F en 1 F

Als weerstand heb ik gebruikt:
 220 Ohm en 100 Ohm

Meting met Vernier Go!Link Interface:  
  • Sluit het interface aan op de computer en de opstelling en start het programma Logger Lite op.
  • Stel de data acquisitie in op 1 meting per seconde gedurende 3 minuten.
    (RC = 220 Ohm * 0.1 Farad = 22 s)
  • Laat de condensator op door de spanningsbron aan te sluiten
  • Start de meting
  • Controleer dat de spanning constant is (laat 30 s lopen).
  • Verbreek de verbinding met de voeding en observeer.
  • Exporteer de data als text file.
  • Importeer deze in een spreadsheet.
  • Analyseer de data.
  • Combineer de resultaten en reken de constante van Planck uit.
Opstelling met CMA Coachlab
 
  • Bouw de schakeling op zoals weergegeven in bovenstaand schema.
    Het grote voordeel van Coachlab is dat deze je al een gelijkspanningsvoeding van 5V kan leveren maar ook dat een spanningsmeter ingebouwd is. Men heeft dan geen batterij nodig.
  • Voor het experiment zelf doorloopt men exact dezelfde procedure als reeds beschreven voor de Vernier Go!Link.
  • Een verschil is dat ik voor CoachLab een meettijd van 5 minuten heb ingesteld.
Visuele bepaling van de grenswaarde
  • Voor dit experiment heb ik mijn Radio Shack Sensors Lab gebruikt. Het kan natuurlijk ook allemaal met een breadboard.
  • Bouw de schakeling op zoals weergegeven in bovenstaand schema.
  • Sluit de probe aan op een Voltmeter of aan de Go!Link met voltmeter.
  • Zet de spanning aan, plaats de WC-rol over de LED.
  • Plaats je oog op de WC-rol en draai de regelbare weerstand naar rechts totdat het licht in de LED net uitdooft.
  • Noteer de spanning.
  • Herhaal dit enkele malen.
  • Herhaal dit voor alle LED's waarvan men licht kan waarnemen.

Resultaten:

Eerste experiment op: 260810
Mijn eerste experiment heb ik uitgevoerd met de spullen die ik op dat moment tot mijn beschikking had of waar ik snel aan kon komen. Dat betekende uiteindelijk een beperking in het aantal kleuren LED dat ik had (blauw, rood, groen, geel, IR) alsmede een beperking m.b.t. de condensator capaciteit nl. 10000 uF. Ik heb, na wat experimenteren, ook besloten om af te wijken van het voorschrift dat beschreven wordt in het artikle van Zhou & Cloninger. Zij hebben hun systeem ontworpen op een stroomsterkte van 60 mA (6V/100 Ohm = 60 mA). Na een LED opgeblazen te hebben en wat literatuur over LED's gelezen te hebben kwam ik tot de conclusie dat het beter was om op een stroomsterkte in de buurt van de 20 mA te mikken. Dit betekent dat ik in dit eerste experiment met een RC tijd van 2.2 s te maken had i.p.v. de 25 s die in het artikel gebruikt werd. De meetresultaten van dit eerste experiment zijn weergegeven in onderstaande grafiek.
 


Deze meetwaarden worden vervolgens gebruikt om de constante van Planck te berekenen.
Een foton gegenereerd door een LED g=heeft een energie van:

Hierin is f de frequentie van de elektromagnetische golf, c de lichtsnelheid (c = 299792458 m/s), l de golflengte, e is de lading van een elektron (e = 1.6022 x 10-19 C), V0 is de doorlaatspanning van de diode en h is de constante van Planck (h = 6.6260693 x 10-34 J.s).

De RC curve die we gemeten hebben wordt geÔmporteerd in Excel kan gefit worden met de vergelijking:

Hierin zin A, a en B constanten, waarbij B de doorlaatspanning V0 die we willen berekenen en A de spanning gemeten over de volle condenstor. De fit heb ik uitgevoerd m.b.v. een eenvoudige chi2 toets en de solver die als Add-In in Excel zit. Men berekent en kwadrateert eerst het verschil tussen de gemeten waarde en de berekende waarde. Vervolgens sommeert men al deze waardes en gebruikt de Solver om deze som te minimaliseren door A, B en a te variŽren. Het is wel noodzakelijk om in eerste instantie redelijke schatting voor de constantes op te geven. A en B kan men aflezen uit de grafiek en een goede schatting voor a is 0.3.  Een voorbeeld van een dergelijke curvefit is weergegeven in onderstaande figuur (IR LED).
 


Op deze manier kunnen we de doorlaatspanning van alle LED's berekenen uit de meetdata.Door vervolgens aan de hand van bovenstaande formule de energie van het foton uit te rekenen en deze uit te zetten tegen de frequentie kan men de constante van Planck berekenen uit de hellingshoek van de grafiek. Hierbij moet men er op letten dat de grafiek door 0 gaat. De resultaten van deze meting alsmede de resultaten die men in het artikel kon vinden zijn weergegeven in onderstaande tabel en grafiek.
 
  Meting       Literatuur (Zhou & Cloninger)  
LED Golflengte Frequentie   Energie Golflengte Frequentie   Energie
Kleur nm THz V0 (10-19 J) nm THz V0 (10-19 J)
Blauw 430 697.192 2.811361 4.504 430 697.192 3.321 5.321
Groen 560 535.344 1.701397 2.726 565 530.606 1.918 3.073
Geel 590 508.123 1.639922 2.627 585 512.466 1.854 2.970
Rood  660 454.231 1.727803 2.768 660 454.231 1.740 2.788
IR 940 318.928 0.916784 1.469 940 318.928 1.167 1.870


Het resultaat is weergegeven in onderstaande tabel. Zoals men kan zien is er in deze eerste poging een relatief groot verschil tussen de berekende waarde en de werkelijke waarde.
 

 
Tweede experiment: 290810
In dit tweede experiment heb ik een condensator van 0.1 F gebruikt (RC tijd = 22 s). Ook heb ik twee extra LED, een oranje en een UV led in het meetprogramma opgenomen. De resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel en grafiek.
 
  Meting      
LED Golflengte Frequentie   Energie
Kleur nm THz V0 (10-19 J)
Blauw 430 697.192 3.079805 4.934
Groen 560 535.344 1.93774 3.105
Geel 590 508.123 1.988457 3.186
Rood  660 454.231 1.924365 3.083
IR 880 340.673 1.141031 1.828
UV blauw 405 740.228 3.029611 4.854
oranje 630 475.861 1.759609 2.819
 

 


De resultaten van dit experiment laten zien dat de combinatie van een groter golflengtegebied en een langere RC tijd een nauwkeuriger resultaat opleveren. De RC tijd is min of meer vergelijkbaar met de literatuurreferentie waarop dit experiment gebaseerd is.
 
Derde experiment: 030910
Dit derde experiment heb ik dus met CoachLab uitgevoerd. Belangrijker is echter dat ik de meettijd verlengd heb naar 5 minuten. De resultaten suggereren echter dat dit geen positiev invloed uitoefent op het resultaat. Hierbij is het wel van belang zich te realiseren dat ik andere LED's gebruikt heb (nieuwe schakeling gebouwd). De resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel.
Experiment R C h relatief verschil Opmerkingen
  Ohm F J/s %  
Constante van Planck     6.63E-34 -  
Literatuur 100 0.25 6.52E-34 1.6 Zhou & Cloninger; Phys. Teach.;2008
EXP 260810 220 0.01 5.72E-34 13.7 1ste experiment
EXP 290810 220 0.1 6.43E-34 3.0 meer LED's (grotere range), langere RC tijd 
EXP 030910 220 0.1 6.06E-34 8.5 CoachLab, 5 min meting
 
Men kan de constante van Planck aflezen uit de regressielijn die gegeven wordt in de grafiek. Excel biedt echter een functie om deze uit te rekenen. In dit geval kan men niet de SLOPE functie gebruiken aangezien men deze niet kan dwingen door 0 te gaan. Met de functie LINEST kan dit echter wel: LINEST(known_y's, [known_x's], [const], [stats])
Door op de plaats van [const] de waarde FALSE in te vullen wordt de hellingshoek berekend voor een lijn die door 0 gaat.
 
Vierde experiment: 120910 & 140910
In dit experiment probeerde ik te bepalen of een verandering in RC tijd (zowel langer als korter) een beter resultaat kan leveren. De 1 F condensator was echter maar ontworpen voor een spanning van 2.3 V. Voorzichtheidshalve heb ik daarom de voedingspanning verlaagd naar 4.5 V. De resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel.
Experiment R C h relatief verschil Opmerkingen
  Ohm F J/s %  
Constante van Planck     6.63E-34 -  
Literatuur 100 0.25 6.52E-34 1.6 Zhou & Cloninger; Phys. Teach.;2008
EXP 260810 220 0.01 5.72E-34 13.7 1ste experiment
EXP 290810 220 0.1 6.43E-34 3.0 meer LED's (grotere range), langere RC tijd 
EXP 030910 220 0.1 6.06E-34 8.5 CoachLab, 5 min meting
EXP 120910 100 1 5.75E-34 13.2 langere RC tijd 
EXP 140910 220 0.01 5.57E-34 16.0 kortere RC tijd
Zoals men aan de resultaten kan zien heeft het verlengen of verkorten van de RC tijd geen significante invloed op de nauwkeurigheid van de bepaling.
 
Een reden voor een afwijkende resultaat kan zijn dat we de golflengte van het LED niet zo nauwkeurig kennen als we dachten. Na wat zoeken op het web lijkt dat inderdaad een bijdrage te kunnen leveren. De spectrale bandbreedte van een LED heeft een grootte orde van 20 tot 60 nm. Rekenen we dat om naar een relatieve fout dan vertaalt dit naar een relatieve fout 4 to 12 %, grofweg 8%. Deze fout is echter te minimaliseren door de golflengte van een LED exact te bepalen m.b.v. een spectroscoop die een gekalibreerde golflengte schaal bevat. Ik heb weliswaar een spectroscoop in mijn bezit maar deze bevat geen schaalverdeling. 
 
Vijfde experiment: 220910 - Visuele bepaling
In dit experiment heb ik de drempelspanning visueel proberen te bepalen m.b.v. de methode zoals die door Martin Hackworth beschreven wordt. De gedachte hierachter is dat ik wilde controleren of de condensator methodiek die we in dit experiment hanteren inderdaad een verbetering is t.o.v. andere methodes die in de literatuur omschreven worden. Men wordt bijna onmiddellijk met twee nadelen geconfronteerd als men dit experiment uitvoert:
  • Indien men de meting enkele keren uitvoert merkt men dat men een redelijke spreiding in de meetwaarde krijgt. Men is dus gedwongen de meting meerder malen uit te voeren en het resultaat vervolgens te middelen.
  • Aangezien men zich moet beperken tot licht dat men kan waarnemen is het golflengtegebied waarover men de meting uitvoert korter hetgeen een grotere fout veroorzaakt.

Het resultaat van dit experiment is weergegeven in onderstaande grafiek en tabel. De meetresultaten en berekening kan men vinden in de file: resultatenoverzicht.xsls

Zoals men aan het resultaat kan zien is de afwijking die men heeft t.o.v. de werkelijke waarde het grootst in dit experiment hetgeen impliceert dat de onderzoeksmethode die we bezigen inderdaad een verbetering in nauwkeurigheid bewerkstelligd.
Experiment R C h relatief verschil Opmerkingen
  Ohm F J/s %  
Constante van Planck     6.63E-34 -  
Literatuur 100 0.25 6.52E-34 1.6 Zhou & Cloninger; Phys. Teach.;2008
EXP 260810 220 0.01 5.72E-34 13.7 1ste experiment
EXP 290810 220 0.1 6.43E-34 3.0 meer LED's (grotere range), langere RC tijd 
EXP 030910 220 0.1 6.06E-34 8.5 CoachLab, 5 min meting
EXP 120910 100 1 5.75E-34 13.2 langere RC tijd 
EXP 140910 220 0.01 5.57E-34 16.0 kortere RC tijd
EXP 220910     5.17E-34 21.9 visueel
 
Al met al lijkt het er dus op dat een meting met een weerstand van 220 Ohm en een Condensator van 0.1 F de beste resultaten oplevert. De vraag die nu overblijft is of we dit resultaat nog kunnen verbeteren. De beste methode daarvoor is te kijken of het enkele malen herhalen en vervolgens middelen inderdaad een verbetering bewerkstelligt. Hetgeen ik vervolgens gedaan heb. Zoals in onderstaande tabel te zien is heeft dit niet geleid tot een significante verbetering.
Experiment R C h relatief verschil Opmerkingen
  Ohm F J/s %  
Constante van Planck     6.63E-34 -  
Literatuur 100 0.25 6.52E-34 1.6 Zhou & Cloninger; Phys. Teach.;2008
EXP 260810 220 0.01 5.72E-34 13.7 1ste experiment
EXP 290810 220 0.1 6.43E-34 3.0 meer LED's (grotere range), langere RC tijd 
EXP 030910 220 0.1 6.06E-34 8.5 CoachLab, 5 min meting
EXP 120910 100 1 5.75E-34 13.2 langere RC tijd 
EXP 140910 220 0.01 5.57E-34 16.0 kortere RC tijd
EXP 220910     5.17E-34 21.9 visueel
EXP 210910 220 0.1 6.16E-34 7.0 1ste experiment
EXP260910a 220 0.1 6.18E-34 6.7 2de experiment
EXP260910b 220 0.1 6.14E-34 7.4 3de experiment
Kijkende naar de resultaten kan men het vermoeden niet onderdrukken dat men systematisch een te lage waarde vindt. Om dit vermoeden te onderbouwen heb ik de Vo waardes van alle 220 Ohm, 0.1 F experimenten samengevoegd in een tabel, de gemiddeldes berekend en de berekening wederom uitgevoerd. Het resultaat is samengevat in onderstaande grafiek.
We vinden nu een waarde van 6.25 x 10-34 voor de constante van Planck, ca. 6% relatief onder de literatuurwaarde.
 

 

Discussie:

In 1900 probeerde de Duitse fysicus Max Planck een model te ontwerpen dat het elektromagnetisch spectrum beschreef dat uitgezonden wordt door een heet zwart lichaam (black body radiation). Deze "black body radiation" is de straling die men kan zien komen van de zon, de gloeidraad van een gloeilamp of van het element in een elektrische oven. Om zijn model voorspellingen kloppen te krijgen met de waarnemingen was hij genoodzaakt om een aanname te doen nl dat elektromagnetische straling is gegroepeerd in kleine discrete eenheden van energie die we tegenwoordig fotonen noemen. Bij elke frequentie hebben deze fotonen een discrete energie die gegeven wordt door de formule: E = h.f, waarin E de energie van het foton is in Joules, f de frequentie in Herz en h de constante van Planck (6.626 x 10-34 J/s).
Als men zegt dat Max Planck de basis legde voor een wetenschappelijke revolutie zal men vervolgens moeten zeggen dat Albert Einstein in 1915 deze revolutie completeerde door een fundament onder het model te leggen. Met de theorie die hij voorstelde, gebaseerd op fundamentele kwantummechanische principes, kon men niet alleen "black body radiation" verklaren maar ook een fenomeen dat al lang als een probleem beschouwd werd, het zgn. foto elektrisch effect. Bij het foto elektrisch effect kan men observeren dat indien een metalen kathode in een vacuŁmdiode door licht beschenen werd, er elektronen vrijkwamen uit dat rooster waarbij de kinetische energie van deze elektronen bepaald werd door golflengte van het licht dat op de kathode valt. Dit fenomeen kon men niet verklaren met de klassieke Newtoniaans fysica die op tot op dat moment als de fundamentele basis van de Natuurkunde beschouwd werd. De constante van Planck verschijnt keer op keer in kwantummechanische berekeningen. Men moet zich echter ook realiseren dat juist omdat de constante van Planck zo klein is (6.626 x 10-34 J/s) het klassieke Newtoniaanse model valide is voor de macroscopische wereld waarin wij ons bewegen. Een iets andere formulering is te stellen dat alhoewel een kwantummechanische beschrijving van de wereld de waarde h omvat, h dusdanig klein is dat het effect dat deze heeft verwaarloosbaar is in macroscopische situaties. Door het verwaarlozen van  h reduceren we  kwantum fysica tot klassieke fysica.   

 

Een LED is opgebouwd uit een halfgeleider met een P-N grenslaag die licht uitzend als er energie in het systeem gestopt wordt. De lichtemissie kan verklaard worden op basis van de energie banden in de halfgeleiders. Als er een recombinatie van gaten en elektronen plaatsvindt in de grenslaag wordt energie omgezet in warmte of licht (fotonen). De stralingsfrequentie wordt bepaald door de materialen die gebruikt worden in de P-N laag. Door concentraties te variŽren kan men verschillende kleuren verkrijgen.
 
In vergelijking met de resultaten gerapporteerd door Zhou et al lijken we niet zulke mooie resultaten te halen. Bekijken we publicatie echter iets nauwkeuriger dan kunnen we lezen dat ze ze resultaten behaald hadden die varieerden van 5.77 tot 7.67 x 10-34. Wat betreft de resultaten vermeld in de tabel  in het artikel kunnen we dus zeggen dat dit een typisch geval is van "only the best results are shown" en niet "typical results are shown". De resultaten die we in dit onderzoek gevonden hebben laten een soortgelijke range zien.
 
Van de andere methodes die in de literatuur vermeld worden gebruikt er een een voltmeter om de minimum spanning te meten die nodig is om het LED aan te zetten terwijl de andere de Vo bepaald door een IO-V curve van de LED te bepalen. Het probleem met beide methodes is dat in het ene geval het menselijk oog bepaald (NEI) wanneer de LED aangaat en men bij de andere het snijpunt moet afschatten uit een kromme. Deze methodes zijn daarom iets subjectiever hetgeen kan resulteren in een grotere foutenmarge. In de methode die we hier gehanteerd hebben bepalen we de ontladingscurve van een condensator door een LED dat in serie staat met een stroombegrenzende waarstand. De ontladingscurve nadert een een voltage dat constant is en ongelijk aan nul. Dit constante voltage (Vo) is het minimum voltage dat benodigd is om stroom te laten vloeien door de LED.
 
Alle meetresultaten nogmaals weergegeven in onderstaande tabel waaraan toegevoegd het gemiddelde van alle resultaten.
Experiment R C h relatief verschil Opmerkingen
  Ohm F J/s %  
Constante van Planck     6.63E-34 -  
Literatuur 100 0.25 6.52E-34 1.6 Zhou & Cloninger; Phys. Teach.;2008
EXP 260810 220 0.01 5.72E-34 13.7 1ste experiment
EXP 290810 220 0.1 6.43E-34 3.0 meer LED's (grotere range), langere RC tijd 
EXP 030910 220 0.1 6.06E-34 8.5 CoachLab, 5 min meting
EXP 120910 100 1 5.75E-34 13.2 langere RC tijd 
EXP 140910 220 0.01 5.57E-34 16.0 kortere RC tijd
EXP 220910     5.17E-34 21.9 visueel
EXP 210910 220 0.1 6.16E-34 7.0 1ste experiment
EXP260910a 220 0.1 6.18E-34 6.7 2de experiment
EXP260910b 220 0.1 6.14E-34 7.4 3de experiment
GEMIDDELD     5.97E-34 9.9  
 
 

Conclusie:

  • De gemiddelde waarde die gevonden is voor het bepalen van de constante van Planck is  5.97.10-34 J/s hetgeen 10 % relatief afwijkt van de werkelijke waarde.
  • Het vergroten van het golflengtebereik door het opnemen van UV en IR LED's vergroot de nauwkeurigheid van de meting (zoals men mag verwachten).
  • Het verlengen of verkorten van de RC tijd maakt de meting niet significant nauwkeuriger.

Literatuur:

  • Feng Zhou, Todd Cloninger; 'Computer-Based Experiments for Determining Planck's Constant using LEDs'; The Physics Teacher; 46 October 2008; p. 413-415.
  • L. Nieves, G. Spavieri, B. Fernandez, R.A. Guevara; 'Measuring the Planck Constant with   Wayne P. Garver; 'The Photoelectric eEffects Using LEDs as Light Sources'; The Physics Teacher; 44 Mayi 2006; p. 272-275.
  • Roger Morehouse; 'Answer to Question #53. Measuring Planck's constant by means of an LED'; American Journal of Physics; 66 1 1998; p. 12.
  • B. van Buuren, J.H. Smitt; "Natuurkunde voor de h.t.s."; Stam; 6de druk; 1967; ISBN 9011008960; p. 165-172, 586,587.
  • Marcelo Alonso, Edward J. Finn; "Fundamentele Natuurkunde, 4 Quantumfysica"; Delta; 1984; ISBN 9066746033; p. 5-50, 294-302.
Relevante websites: Minder relevante websites:

Opmerkingen:

  • Bij Conrad kan men relatief goedkope doosjes met setjes weerstanden, condensatoren en LED's krijgen.
  • Condensatoren met een hoge capaciteit (F-range) kon ik in eerste instantie niet vinden  bij Conrad, recentelijk echter wel. Gelukkig zijn er nog van de kleine elektronica zaakjes waar je wel terecht kunt voor dit soort spullen. In mijn geval is dat: Eurosound - Kruisweg 50 - Haarlem.
  • Het UV lampje heb ik uit een vals geld detector lampje gesloopt.
  • Dit experiment kan men natuurlijk ook uitvoeren met Coachlab of een multimeter die men aan de PC kan koppelen op voorwaarde dat men een voldoende hoge samplefrequentie kan instellen.
  • Resultaten en analyses kan men vinden in de spreadsheets:
    experiment 260810.xlsx
    experiment 290810.xlsx
    experiment 030910.xlsx
    experiment 120910.xsls
    experiment 140910.xsls
    experiment 210910.xlsx
    experiment 260910a.xlsx
    experiment 260910b.xlsx
    resultatenoverzicht.xsls
  • Bij de Coachlab opstelling had ik daadwerkelijk een schakelaar opgenomen in de opstelling, Bij de Vernier Go!Link experimenten trok ik een voedingsdraadje los.
  • Bij de keuze van de condensator moet men rekening houden aan welke spanning deze blootgesteld kan worden om doorslag te voorkomen.
  • Gebruik slechts een Voltmeter in Coachlab. Indien men twee voltmeters tegelijkertijd gebruikt bv een over de condensator en een andere over de weerstand dan zal men vreemde resultaten krijgen. De oorzaak hiervan is dat de voltmeters binnen Coachlab een gemeenschappelijke aarde hebben (op de zwarte connector). Door deze tegelijkertijd te gebruiken creŽert men kortsluiting. Het probleem is oplosbaar door een differentiŽle voltmeter te gebruiken.
  • De presentatie die ik gemaakt heb voor het TOA congres is downloadbaar:
    Constante vanPlanckTOACongres_clean.pptx

Achtergrondinformatie:

LED's

Light Emitting Diode (LED) staat voor, zoals de naam aangeeft, een diode die licht afgeeft. Het licht dat een LED uitstraalt wordt niet opgewekt door het verhitten van een draad zoals in een gloeilamp gebeurd, maar door het aanslaan van elektronen in het halfgeleider materiaal.
 
Halfgeleiders
Halfgeleidermateriaal is de grondstof voor vele onderdelen in de moderne elektronica, zoals diodes, transistors en lichtgevoelige weerstanden.  

Halfgeleiders zijn materialen, die de elektrische stroom matig geleiden. Het meest gebruikte halfgeleidermateriaal is silicium. Vroeger werd germanium veel gebruikt. Deze stoffen vormen kristallen met een zogenaamd diamantrooster, waarin elk atoom omringd wordt door 4 buurtatomen. De verbindingen met deze buuratomen worden door 4 elektronen uit de buitenste schil verzorgd. Deze elektronen zijn heel stevig gebonden aan hun atomen. Er is vrij veel energie voor nodig om ze los te krijgen. Daarom wordt bij kamertemperatuur maar een heel geringe fractie door de warmtebeweging 'losgemaakt'. Bij lage temperaturen komen helemaal geen elektronen vrij en bij 0 K is een halfgeleider een isolator. Als een elektron wordt losgemaakt, blijft er een atoom achter met een elektron tekort. Zo'n plaats waar een elektron ontbreekt noemt men een gat; het losgemaakte elektron heet vrij elektron. Door de warmtebeweging wordt gelijktijdig een vrij elektron en een gat gegenereerd, een proces dat men paarvorming noemt. Het gat kan op twee manieren worden opgevuld. Een vrij elektron kan de plaats opvullen, men spreekt dan van recombinatie. Hierbij verdwijnt dus een paar. Het gat kan echter ook worden opgevuld door een elektron dat hoort bij een buuratoom. Op deze manier kan een gat zich van atoom tot atoom verplaatsen. Als er een elektrisch veld heerst kan een gat zo bijdragen tot elektrische geleiding. Het gedraagt zich als een vrij bewegende positieve elektrische lading. In een halfgeleiderkristal worden voortduren paren gegenereerd, terwijl ook voortdurend paren verdwijnen door recombinatie. Bij een hogere temperatuur worden er meer paren gegenereerd dan bij een lagere temperatuur. De concentratie van vrije elektronen en gaten is dan groter, zodat de kans op recombinatie dan ook groter is. Bij elke temperatuur zal het aantal paarvormingen gelijk zijn aan het aantal recombinaties, maar bij hogere temperaturen zijn de aantallen groter. De elektrische geleiding in een hafgeleider wordt 'verzorgd' door vrije elektronen en gaten. Zolang het materiaal niet verontreinigd is, zijn er precies evenveel gaten als vrije elektronen. Zuiver materiaal noemt men wel intrinsiek.

Als aan zuiver silicium een kleine hoeveelheid fosfor wordt toegevoegd, kunne de fosfor-atomen op silicium plaatsen in het rooster gaan zitten. Omdat fosfor 5 elektronen in de buitenste schil heeft, en er maar 4 nodig zijn voor de bindingen met de buuratomen, heeft elk fosforatoom een elektron over. Dit elektron kan vrij gemakkelijk worden losgemaakt: er is maar een kleine hoeveelheid energie voor nodig. Het gevolg is dat bij kamertemperatuur vele elektronen zich losmaken, onder achterlating van een positief fosfor ion, dat niet van zijn plaats kan. Het fosfor 'levert' dus vrije elektronen aan het silicium. Het wordt daarom donor genoemd. Het toevoegen van een stof als fosfor heet doping. In het silicium zelf treedt natuurlijk de zopas genoemde paarvorming op, waarbij evenveel vrije elektronen als gaten ontstaan. Aangezien er nu vele extra vrije lektronen aanwezig zijn, zullen door recombinatie maar weinig gaten overblijven, veel minder dan in intrinsiek silicium. Als silicium dus met een donor wordt verontreinigd, zullen in het silicium veel vrije elektronen en weinig gaten aanwezig zijn. De vrije elektronen zijn de meerderheidsladingsdragers; de gaten de minderheidsladingsdragers. Omdat elektronen een negatieve lading hebben, noemt men silicium dat met een donor verontreinigd is: n-type silicium. Men kan het silicium ook dopen met een element dat 3 elektronen in de buitenste schil heeft, zoals gallium. Een gallium-atoom heeft dan een elektron te weinig om alle bindingen met buuratomen te verzorgen. Het zal graag een elektron van een buuratoom willen opnemen, waardoor echter bij het buuratoom een gat ontstaat. Omdat er weinig energie voor nodig is om zo'n elektron op te nemen, zullen er veel gaten ontstaan. Het gallium wordt daarom een acceptor genoemd. Ook nu geldt dat de paarvorming gewoon doorgaat. Omdat er nu veel gaten zijn, zullen door recombinatie maar weinig vrije elektronen overblijven. de gaten (die zich gedragen alsof ze een positieve lading hebben) zijn de meerderheidsladingsdragers en de vrije elektronen de minderheidsladingsdragers. Men spreekt nu van p-silicium.              

Halfgeleiderdiode

We beschouwen nu eerst een halfgeleiderdiode, waarop nog geen spanning is aangesloten. De ene helft van de diode bestaat uit p-materiaal en de andere uit n-materiaal. Omdat de concentratie gaten in het linkerdeel veel groter is dan rechts, zullen er geen gaten naar het rechterdeel gaan en daar recombineren met vrije elektronen; andersom zullen er vrije elektronen naar links gaan en daar recombineren. Hierdoor ontstaat er links een overmaat aan negatieve lading en rechts een overmaat aan positieve lading, waardoor een elektrisch veld ontstaat in de grenslaag. Over de grenslaag staat hierdoor een potentiaalverschil F

In de grenslaag zelf blijven heel weinig vrije ladingsdragers over, ze zouden nl. direct kunnen recombineren. Men noemt de grenslaag daarom ook wel de depletielaag of uitputtingslaag. Door het elektrisch veld in de grenslaag wordt de gatenstroom van p naar n tegengewerkt, evenals de elektronenstroom van n naar p. Slechts een kleine fractie van deze meerderheidsladingsdragers heeft voldoende thermische energie om de grenslaag te passeren. Voor de minderheidsladingsdragers is de richting van het elektrisch veld juist gunstig. De (weinige) gaten in het n-materiaal kunnen dus allen de grenslaag over. Aangezien er voortdurend nieuwe paren gegenereerd worden, is er een kleine stroom gaten van n naar p. Zolang er geen uitwendige spanning wordt aangelegd, zal deze gatenstroom precies even groot zijn als die van p naar n. Het elektrisch veld in de grenslaag stelt zich automatisch zo in, dat er evenwicht is. 

Veronderstel nu, dat we het elektrisch veld in de grenslaag kleiner maken, door uitwendig een spanning aan te sluiten op de diode, met de pluspool aan de p-kant en de minpool aan de n-kant. De stroom van de minderheidsladingsdragers verandert daardoor niet, maar de fractie van de meerderheidsladingsdragers die de grenslaag kan passeren, wordt daardoor groter. Nu ontstaat er een netto elektronenstroom van n naar p. Dat betekent dat er een elektrische stroom (positieve lading) van p naar n loopt. De grootte van deze elektrische stroom hangt af van de aangelegde spanning, volgens

Hierin is I0 de elektrische stroom van de minderheidsladingsdragers, q de lading van het elektron, V de aangelegde spanning, k de constante van Boltzmann en T de absolute temperatuur.

De eerste term van het rechter lid is de stroom van de meerderheidsladingsdragers; de tweede die van de minderheidsladingsdragers. De stroom van de meerderheidsladingsdragers neemt exponentieel toe met de aangelegde spanning.

We kunnen het elektrisch veld in de grenslaag ook groter maken door de spanning andersom aan te sluiten. De stromen van de minderheidsladingsdragers veranderen daardoor niet, maar de fractie van de meerderheidsladingsdragers, die de grenslaag passeert, wordt kleiner. Als de spanning een paar Vol is, is deze fractie praktisch nul. Dan blijft dus alleen de stroom van de minderheidsladingsdrager over: Io. Deze stroom heet lekstroom of sperstroom. De elektrische stroom (positieve lading) loopt van n naar p. Omdat het aantal minderheidsladingsdragers dat per seconde gegenereerd wordt, sterk van de temperatuur afhangt, is de lekstroom ook sterk temperatuur-afhankelijk.

De p-kant van de diode noemt men wel anode; de n-kant kathode. Als de pluspool van de spanning aan de p-kant is aangesloten, zeggen we, dat V>0 en dat de diode in doorlaatrichting is aangesloten. Is de pluspool aan de n-kant aangesloten, dan noemen we V<0 en is de diode in de sperrichting aangesloten. In het eerste geval is I>0 en in het tweede is I<0, volgens onderstaande formule:

We kunnen bovenstaande in een aantal figuren samenvatten.                

geen aansluiting
V=0, I=0
doorlaten
V>0, I >0
sperren
V<0, I<0

In doorlaatrichting kan een diode in principe een grote stroom doorlaten, maar door zo'n stroom wordt een vermogen I*V in de diode afgegeven. Het hangt van het type af, hoeveel vermogen er gedissipeerd mag worden; wordt het toegestane maximum overschreden dan wordt de diode te heet en gaat hij kapot. Om deze reden ziet men vrijwel altijd in serie met een diode een weerstand, die de stroom begrenst.

De lekstroom is zeer klein (in de orde van nA), zodat in principe vrij grote spanningen in de sperrichting aangesloten kunnen worden. Maar elke diode heeft een maximale spanning, waarboven doorslag in de grenslaag optreedt en de diode vernield wordt.

Vaak is men meer geÔnteresseerd in de verandering is stroom als V een klein beetje verandert. Men noemt dit de differentiŽle of dynamische weerstand van de diode: r= dV/dI

We kunnen de dynamische weerstand eenvoudig berekenen uit de bovenstaande formules, waarbij we de 1 verwaarlozen:

waaruit

  

dus

 

Ook de dynamische weerstand hangt dus van het instelpunt af. Gezien de afwijking van de diode ten opzichte van de theorie zal ook deze r slechts een benadering van de werkelijkheid zijn.

In de Zener-diode wordt gebruik gemaakt van het "doorslaan" van de diode in de sperrichting. Hij is zo gemaakt, dat dit bij een goed gedefinieerde spanning gebeurt. De stroom kan dan in een vrij groot gebied variŽren, terwijl de spanning over de diode nauwelijks verandert. Door deze eigenschap kan hij gebruikt worden voor het leveren van een stabiele spanning. Het is natuurlijk wel zaak te zorgen dat de stroom niet te groot kan worden. Daarvoor wordt meestal een serieweerstand gebruikt. Zener diodes zijn te verkrijgen in waarden die variŽren van een paar Volt tot 75 Volt.

Max Planck

Max Planck (1858-1947) was een Duits fysicus die tegenwoordig beschouwt wordt als een van de grondleggers van de kwantum mechanica door te postuleren dat energie bestaat uit kwanta. Vanuit deze premisse leidde hij in 1901 de universele stralingswet af. Hij was een professor in de fysica in Kiel en in Berlijn. Hij was de auteur van ondertussen als klassiekers beschouwde boeken over theoretische fysica zoals "Theory of Heat Radiation". In 1918 werd hem de Nobelprijs in Natuurkunde toegekend. 


08/11/2010