Afkoeling volgens Newton

Datum:

april 2003

Principe:

Het afkoelen van water meten gedurende een bepaalde tijd.

Beschrijving:

Zodra er hete koffie in een kop wordt gegoten begint deze af te koelen. Het afkoelingsproces verloopt eerst heel snel en daarna langzamer. Na een lange tijd is de temperatuur van de koffie hetzelfde als die van de omgeving. De temperatuur variaties van afkoelende lichamen werd samengevat door Newton in zijn warmtewet. De snelheid waarmee de temperatuur van een voorwerp verandert is evenredig met het verschil tussen de constant veronderstelde omgevingstemperatuur en de ogenblikkelijke temperatuur van het voorwerp. Oftewel:

DT/Dt = k(T-Ts)

waarin DT het temperatuurverschil gedurende een zeer kort tijdsinterval Dt. T is de temperatuur van het object op een gegeven tijdstip. Ts is de omgevingstemperatuur en K is een proportionele constante. Indien we de vergelijking mathematisch oplossen krijgen we: 

T-Ts = (T-T0)e-kt

waarbij T0 is de temperatuur van het object op t=0.

Met dit experiment onderzoeken we de afkoeling van een object en verifiren de afkoelingswet.

Materiaal:

  • Statief met klem
  • Water 
  • Bekerglas
  • Nauwkeurige thermometer (of Lego Mindstorms RCX met temperatuursensor - zie de foto hiernaast voor de opstelling)

Uitvoering:

  1. Giet 30-40 g heet water in een bekerglas.
  2. Plaats de thermometer in het water en meet de temperatuur op regelmatige tijdstippen, of activeer het datalogging programma van de RCX.
  3. Verwerk de meetresultaten.

Meetresultaten en uitwerking:

De Lego Mindstorms RCX was geprogrammeerd om elke 15 s de temperatuur te meten (zie Appendix).
De meetresultaten kunnen worden gevonden in de excel file afkoeling.xls en worden weergegeven in onderstaande grafiek.

Discussie: 

Volgens Newton's wet van afkoeling geldt voor een voorwerp dat afkoelt o.i.v. geforceerde convectie (luchtstromingen) dat de snelheid van afkoeling evenredig is met het verschil in temperatuur tussen het voorwerp en zijn omgeving. Aangezien het temperatuurverschil evenredig is met de verandering in warmte:


waarin m de massa van het voorwerp is en Cp de warmtecapaciteit, kunnen we schrijven:

waarin dT/dt de afgeleide van de temperatuur in de tijd is, Ts de omgevingstemperatuur en K een evenredigheidsconstante. Deze vergelijking kunnen we integreren waarbij we stellen dat op het tijdstip t=0 de temperatuur van het voorwerp T0 is.

Voor de T van het voorwerp op tijdstip t geldt dus:

We willen dus bovenstaande formule aan de waarnemingen koppelen waarbij K berekend wordt mbv van de meetresultaten.

We kunnen de bovenstaande gelineariseerde versie toepassen maar dat is niet nodig. We kunnen K bepalen m.b.v. de solver (of oplosser) in excel in combinatie met een eenvoudige chik^2 toets. In het kort gezegd berekenen we bij elk tijdspunt waarvan we een meting hebben de bijbehorende temperatuur door eerst een K te schatten (bv 0.001). We bereken dan het verschil tussen gemeten en berekende waarden en kwadrateren dat. Alle kwadraten tellen we bij elkaar op. M.b.v. de solver minimaliseren we de som door de K die we in de berekeningsformule gebruiken te wijzigen. Het geheel ziet er dan uit als in onderstaande tabel, waarbij de resultaten van 3 tijdstippen te zien zijn.

  EXP 1   EXP 2   EXP 3     MODEL          
water 33.8 g 35.7 g 47.1 g   EXP 1   EXP 2   EXP 3  
Ts 23.7 C 22.1 C 23.8 C K = 0.00064 8.17 0.000568 6.25 0.000523 8.58
sec oC*10 C oC*10 C oC*10 C   C chi^2 C chi^2 C chi^2
0 466 46.6 510 51.0 488 48.8   46.60 0.00 51.00 0.00 48.80 0.00
15 466 46.6 508 50.8 488 48.8   46.38 0.05 50.76 0.00 48.60 0.04
30 466 46.6 506 50.6 485 48.5   46.16 0.19 50.51 0.01 48.41 0.01
Het resultaat kunnen we zien in onderstaande grafiek.
In de grafiek is goed te zien dat de berekende curves goed overeenkomen met de gemeten curves.
Voor de curve-fits hebben we de echter verschillende K's berekend nl:
EXP1	0.001325638
EXP2	0.001307257
EXP3	0.001232084

Alhoewel de verschillen in K klein zijn ze wel aanwezig. We hebben echter niet steeds dezelfde hoeveelheid water afgewogen en zijn ook niet steeds op dezelfde starttemperatuur het afkoelen gaan meten. In feite betekent dit dat de constante K geen zuivere constante is maar deze ook een vergelijking is. Het is niet een eenvoudige relatie met massa of oppervlak van het lichaam (zie de spreadsheet afkoeling.xls).

Conclusie:

Een afkoelend bekerglas met water volgt exact de temperatuurwet van Newton.

Opmerkingen:

  • Het is niet echt nodig (maar wel  makkelijker) om de Lego Mindstorms RCX te gebruiken. Een handmatige meting is natuurlijk ook mogelijk.
  • M.b.v. de afkoelingswet van Newton kan een forensisch arts berekenen hoelang geleden iemand gestorven is. 

Literatuur:

  • CBLTM SYSTEM EXPERIMENT WORKBOOK; Texas Instruments; 1997; p. 39-41.
  • J.M.M. Smith, E. Stammers; "Fysische Transportverschijnselen I"; Delftsche Uitgevers Maatschappij; 1973; p. 77-130.

Relevante websites:

Minder relevante websites

Appendix:

NQC programma gebruikt voor datalogging
// templog.nqc
// log temperature every 15 seconds for 6 hours
#define SAMPLE_TIME    1500    // 15 seconds
#define DATALOG_SIZE    1440    // 6 hours of data 
task main()
{
        SetSensor(SENSOR_1, SENSOR_CELSIUS);
        SelectDisplay(1);
       CreateDatalog(0);
        CreateDatalog(DATALOG_SIZE);    
       int i = 0;
        while(i < DATALOG_SIZE)
        {
                AddToDatalog(SENSOR_1);
                Wait(SAMPLE_TIME);
                i++;
        }
}

05-02-2017

dd 01072010: Niet werkende links verwijderd of aangepast.